Comment comprendre la variance en poker...

« Variance oh variance, pourquoi es-tu si cruelle ? »

« Le poker serait-il truqué que tu sois toujours présente à ma table ? »

Telles sont les questions légitimes que certains joueurs de poker se posent lors de leur progression.

"Progression", en voilà un autre mot bien étrange qui qualifie l'évolution d'une personne sur une discipline demandant compétences et persévérance !

Pour comprendre l'entièreté de ce message, il faut revenir à la base, reposer les fondations, re-comprendre le fonctionnement de notre sport favori : Le Poker.

Le Poker, qualifié de jeux de « gambling » par la majorité des gens, est en fait un jeu à espérance positive. Cela signifie que, contrairement à la roulette, il est possible de générer du profit sur le long terme en appliquant certaines règles très strictes !

Nous jouons avec un « deck » de 52 cartes. Le dealer nous en distribue deux et ensuite, viennent successivement, cinq cartes : le flop (trois cartes), la turn (une carte) et la river (une carte). A l’abattage, ce sera la meilleure combinaison possible formée de cinq cartes (allant de Carte Haute à Quinte Flush Royale) parmi les sept à notre disposition, qui remportera le pot.

En fonction de notre main de départ, du potentiel de celle-ci, de notre niveau par rapport à nos adversaires (edge) et de la taille de notre tapis, nous décidons de rentrer dans la main de façon agressive ou pas. S’en suit une succession d'actions qui nous mène à des décisions plus ou moins difficiles.
Pour chaque action, nous avons un risque à prendre et un gain potentiel. Le but étant de minimiser le risque et de maximiser les gains sur le long terme.

Ça y est ! C’est dit... risque, gain et long terme !

En effet, pour qu’un joueur puisse jouer de façon profitable au poker, il doit être conscient qu'à chaque action, il y a un risque à prendre et un gain potentiel. Certaines actions seront plus lucratives que d'autres mais ce qui distinguera un bon joueur d'un joueur moyen (ou mauvais) est sa capacité à saisir la moindre occasion pour faire augmenter son profit sur le long terme.

Alors maintenant, qu'est-ce que le risque au poker ?

Au poker nous mesurons le risque par l'equity* (équité). Il s’agit de la valeur espérée de vos gains sur le long terme. L’équité est le produit d’un calcul de fréquences statistiques qui pondère vos gains possibles en fonction des différentes issues de la main qui est jouée.
Exemple :
J’ai un tapis de 1000, il y a 500 dans le pot.
Je fais all-in, je sais que je serai payé que 30% du temps, mais que si je suis payé je ne gagnerai que 40% du temps (vous me suivez ?).
En d’autres mots, en faisant all-in, mon adversaire a le choix entre payer mon tapis et se coucher. Dans notre exemple, on suppose qu’il me payera 30% du temps et se couchera 70%. On suppose aussi que lorsqu’il me payera, il le fera avec une meilleure main que la mienne, une main qui gagnera 60% (donc que je gagnerai 40% du temps).
Mon adversaire a le même tapis que moi donc si il me paye et que j’ai perdu, je n’ai plus aucun jeton.
La mesure du risque dans ce cas de figure est donc l’équité de mon tapis en faisant cette action comparé à l’équité de mon tapis en ne faisant pas cette action :

70%*(1000+500)+(100%-70%)*40%*(1000+1000+500) = 1350
Vous comparez maintenant votre équité (1350) à votre tapis au départ de l’action (1000) et vous remarquez que vous générerez un gain de 350 sur le long terme à chaque fois que vous referez cette action dans les mêmes conditions.


Mais alors, que signifie long terme ?
Le long terme est une notion très vague pour beaucoup de joueur et qu’il est important de comprendre pour rester objectif sur ses résultats.
Pour bien comprendre ce concept, je vous inviterais à lire attentivement deux théorèmes de statistique :

Le Théorème Central Limite :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_central_limite
La Loi des Grand Nombres :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres

Le Théorème Central Limite nous explique que si le nombre de variable aléatoire est grand, on peut approximé sa distribution par une dispersion normale (en forme de cloche).

La Loi des Grand Nombre nous explique que plus l’échantillon de variables aléatoires est important et plus ses caractéristiques empiriques se rapprocheront de celles de la population.

Pour revenir sur le poker, le long terme se calcule en nombre de main pour le cash-game et en nombre de parties pour les tournois. Pour que les résultats soient représentatifs, il faut que votre échantillon de mains/tournois soit suffisamment grand que pour être interprété.

"Grand comment ?" Me direz-vous…

Là est toute la question ! Pour que votre variance et votre moyenne soient exactes, on dit que votre échantillon doit tendre vers l’infini. Mais attention, ceci n’empêche pas qu’on peut l’estimer plus tôt avec une grande précision.
L’interprétation des paramètres de votre jeu (variance, moyenne, etc…) avec un nombre de mains données, dépendra de votre style de jeu (large, serré, agressif, passif).

Comprendre que le poker est un jeu à Petites marges est également quelque chose de très important. Ainsi, la meilleure main possible - AA - confronté à un éventail de 100% (allant de 72o à KK) n’a que 85.45% de chance de gagner. Ça signifie donc que 14.55% du temps les As ne tiendront pas et vous aurez à faire à un « badbeat ».
Ici il s’agit d’un exemple extrême où on confronte la meilleure des mains dans un contexte favorable, à savoir contre un éventail de 100%. Mais comme vous n’aurez AA qu’une fois sur 221 mains et que vous ne jouez pas qu’AA mais également d’autres mains tel qu’Ax, des plus petites paires et même des connecteurs assortis, etc..... votre espérance de gain sera diminuée. Pour augmenter son Equité on joue alors un plus grand volume de mains en le jouant de façon profitable.
Ainsi il y a un équilibre dynamique qui s’opère entre le nombre de mains que vous déciderez de jouer et votre gains espéré par main.
Sous forme d’équation ça nous donne :
E(x) =
Avec :

• Ci = nombre de combinaisons possibles pour une main i.
  
• X% = espérance statistique d’une main sur un éventail de main donné.
  
• n = nombre de mains que vous décidez de jouer.
  
• E(x) = espérance de gain total en %.
  

Ainsi, si vous ne jouez que AA vous le gagnerai 85% du temps mais vous ne jouerai que une fois sur 221. Vous deviendrai très lisible et ne générerai aucune action dès que vous rentrerez dans une main. Vous allez donc décider d’élargir votre éventail de mains et par la même occasion tenter de générer plus d’actions. En élargissant votre éventail aux autres mains n’ayant pas la même espérance de gain qu’AA votre espérance de gain totale (E(x)) s’en retrouvera automatiquement diminuée. Plus vous élargirez votre éventail de mains, plus vous serai catégorisé comme joueur large et plus vous générerez de l’action. Plus vous aurez de l’action et plus vous vous exposerez à la variance. Plus vous vous exposerez à la variance et plus vous aurez besoin d’un échantillon important pour estimer votre équité moyenne.
Il s’agit donc d’une suite de cause à effet qui n’est en fait que la résultante de notre jeu et de notre image.
Savoir encaisser les « badbeats » est quelque chose de pas facile mais de nécessaire pour arriver à progresser de façon constructive dans un jeu d’argent en information incomplète tel que le poker.

Aller dire que les room de poker sont « rigged**» devient alors un non-sens à partir du moment où elles ont été contrôlées par des organismes indépendant. Pour ce sujet, je vous invite à faire vos recherches sur internet du coté de http://www.cigital.com/ (concernant PokerStars et Fulltilt Poker en tout les cas).


Le coin des profanes :

Pour diminuer l'effet de la vairance, jouez un plus grand nombre de mains en veillant à chaque fois à ce que le montant investi vous rapporte plus que le nombre de chance que vous estimez d'avoir de remporter le coup. Exemple: vous avez 1 chance sur 2 de gagner, vous investissez 100 et si vous gagnez, vous gagnez 300. Toute la valeur d'un joueur de poker se mesure maintenant dans sa capacité à bien estimer ses chances dans une main.


*Equity : Mot anglais qui définit, en finance, la valeur des avoirs d'un actionnaire généré par les intérêts.
** Rigged : verbe anglais, traduction : truqué.